【课题方向】移动阵列信号模型

移动阵列接收信号建模推导

1. 阵列与信号模型

• 阵列：一维均匀线阵 (ULA)，阵元位置
  [
  x_m = m d,\quad m=0,\dots,L-1
  ]
• 运动：阵列整体以速度 (v) 沿阵列轴向匀速移动。
• 第 (k) 个远场信号源：方向角 (\theta_k)，信号 (s_k(t))。
• 波长：(\lambda)，波数 (k_0=2\pi/\lambda)。

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2. 静止阵列的导向矢量

[
a(\theta_k)=
\begin{bmatrix}
e^{-j k_0 x_0\sin\theta_k},~
e^{-j k_0 x_1\sin\theta_k},~
\dots,~
e^{-j k_0 x_{L-1}\sin\theta_k}
\end{bmatrix}^{T}.
]

阵列流形矩阵：
[
\mathbf A=[,a(\theta_1),\dots,a(\theta_K),].
]

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3. 运动带来的公共相位

阵列整体位移：
[
\Delta x(t)=v t,
]
相位增量：
[
\phi_k(t)=k_0 v t \sin\theta_k = \frac{2\pi}{\lambda} v t \sin\theta_k.
]

公共相位因子：
[
b_k(t)=\exp!\left(-j \frac{2\pi}{\lambda} v t \sin\theta_k\right).
]

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4. 单个快拍的信号模型

把公共相位并入信号：
[
\tilde s_k(t)=b_k(t),s_k(t), \quad
\tilde{\mathbf s}(t)=[\tilde s_1(t),\dots,\tilde s_K(t)]^T.
]

接收信号：
[
\boxed{;\mathbf x(t)=\mathbf A,\tilde{\mathbf s}(t)+\mathbf h(t);}
]

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5. 两个快拍的模型

在 (t+\Delta t) 时刻：
[
b_k(t+\Delta t)=b_k(t),b_k(\Delta t),
]
其中
[
b_k(\Delta t)=\exp!\left(-j \frac{2\pi}{\lambda} v \Delta t \sin\theta_k\right).
]

因此：
[
\mathbf x(t+\Delta t)=\underbrace{\mathbf A,\mathbf D_b(\Delta t)}_{\mathbf B(\Delta t)},\tilde{\mathbf s}(t+\Delta t)+\mathbf h(t+\Delta t),
]

其中
[
\mathbf D_b(\Delta t)=\mathrm{diag}(b_1(\Delta t),\dots,b_K(\Delta t)).
]

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6. 载频补偿

若信号真实在载频 (f_0)，快拍间隔 (\Delta t) 会引入额外相位 (e^{j2\pi f_0 \Delta t})。
补偿后：
[
\tilde{\mathbf x}(t+\Delta t)=\mathbf x(t+\Delta t),e^{-j2\pi f_0 \Delta t}.
]

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7. 空–时联合模型

将两个快拍拼接：
[
\mathbf y(t)=
\begin{bmatrix}
\mathbf x(t)\
\tilde{\mathbf x}(t+\Delta t)
\end{bmatrix}

\underbrace{\begin{bmatrix}
\mathbf A\
\mathbf A,\mathbf D_b(\Delta t)
\end{bmatrix}}_{\mathbf A_s}
\begin{bmatrix}
\tilde{\mathbf s}(t)\
\tilde{\mathbf s}(t+\Delta t)
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\mathbf h(t)\
\tilde{\mathbf h}(t+\Delta t)
\end{bmatrix}.
]

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8. 一般化：空–时导向矢量

若有 (P) 个快拍，方向 (\theta_k) 的慢时域导向矢量：
[
p_k=[,1,e^{-j2\pi f_{d,k}T},\dots,~e^{-j2\pi f_{d,k}(P-1)T},]^T,
]
其中 (f_{d,k}=\tfrac{v}{\lambda}\sin\theta_k)。

最终空–时导向矢量：
[
\boxed{;u_k = p_k \otimes a(\theta_k);}
]

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9. 结论

• (a(\theta_k))：空间几何信息（阵元间距 (d)）。
• (b_k(t))、(p_k)：运动带来的多普勒相位序列。
• 空–时导向向量 (u_k)：两者的克罗内克积，等价于“虚拟扩展阵列孔径”。